凡是要求教师课堂上做到的教材首先做到——以教材改革引领、支撑教学改革

教材对于教师犹如剧本对于演员。它是包括教师备课、讲课，学生课前预习、课后复习等整个教学系统的“根”，它基本决定了教师“教什么”。同时它也是教师学习“怎么教”的第一任教师。新教师基本上是依赖教材学习教学的。因此，为推动教学改革向纵深发展，首先要有教材做支撑。将教学改革的理念融入教材。凡是要求教师课堂上做到的教材首先做到，使教师在“照本宣科”中就能改革教学内容与教学方法。这是使教学改革遍地开花、教学质量得到普遍提升的最直接、最快速、最有效的方法。笔者正是怀着这样的初心，将长期教学中的积淀融入知识的传授之中，编写出版了《高等数学》（第二版）（高等教育出版社，2022年8月），形成如下的鲜明特点。

教基础  

定义是“根”、是基石，其他知识是由定义衍生出来的。本书特别重视基础知识的教学。为此，在定义、定理、例题附近插入边框提出问题，提示、启发学生思考、分析。以使学生理解定义的内涵与外延；学到定理证明的思想方法、对定理有更深刻的认识；寻求例题的解题思路，总结解题的收获，使认识得以提升与升华。打开课本就会发现，这类例子在书中随处可见。

边框为教师实施互动式、讨论式教学提供支撑，使学生课后看书不是被动地接受，而是与课本形成互动，参与问题的解决。另外，全书每一节的习题A第1题都是“判断下列论述是否正确，并说明理由”，使读者对本节的基本知识有一个清晰的理解与认识，是“教基础”的重要一环。

教认知  

培养学生正确的认知能力是教师的职责。笔者在长期的教学、科研实践中总结出用“已知”认识“未知”、用“已知”研究“未知”，用“已知”解决“未知”的规则，被人称为人类认知世界的基本准则。它也是人类文明发展所遵循的基本规则，人类文明的每一步前进，科学技术的每一个发现与发明，无不遵循这一规律。学生学习每一个新知识，无不是用已有的知识（“已知”）去认识、理解与接受新知识（“未知”）。

我们将这一认知规则作为全书的主线贯穿到每一个章节。引入新概念、证明新命题、求

解例题，都着力引导学生去寻找认识、研究、解决面临的“未知”所需要的“已知”、或将陌生的“未知”转化为熟悉的“已知”。例如，为引入导数而研究瞬时速度时（上册第80页），首先指出，“正像在‘引论’中所说，何谓变速运动的瞬时速度？怎么计算？这些都是‘未知’。为研究、解决这一‘未知’，我们自然想到中小学所学过的‘匀速运动的速度’这一‘已知’”。再如，为引出反常积分（上册第266页），首先指出，“不难猜想，这需要利用定积分的概念与极限作“已知”来认识与研究它”。这样讲课，不仅使学生知道“是什么”“怎么做”，还知道“为什么”“怎么想”；还能自觉不自觉地变灌输式为互动式、讨论式。

层次清晰、逻辑严谨，能调动起学生学习的欲望与兴趣，培养出学生的能力。国际著名教育家苏霍姆林斯基说，“教给学生能借助已有的知识去获取知识是最高的教育技巧”。因此，用基本认知准则引领教学，就能容易地使教师的教学达到“最高的教育技巧”。学生掌握这一思想，将终生受益。

教思想  

微积分难成为社会公识。它之所以难是因为微积分是变量数学。它研究的两个最基本的问题是求变速直线运动的瞬时速度与位移（曲边形面积），这与中小学学习的常量数学在认知上有一条难以跨越的鸿沟，是导致微积分难的“七寸”。现在教材中流行的导数与积分的定义基本上是19世纪柯西等人给出的。受历史的局限，他延用前人的做法，由研究变速直线运动的瞬时速度引出导数；而与研究瞬时速度毫无关联地寻找求曲边梯形面积及变速直线运动的位移的方法，引出了定积分。它们（包括六类多元函数的积分）中的每一个的建立都使学生在认知上发生一次跳跃。认知的一次次跳跃使学生学起来犹如听天书，起初的好奇变成厌恶，微积分怎能不难！

笔者用“用‘已知’解决‘未知’”的认知准则来审视微积分所研究的两个基本问题，发现它们虽然存在着微观与宏观的差异，但却是“同根同源”（源于非均匀）。解决它们应遵循局部、以匀代非匀、初等方法求近似、“局部”无限变小求极限的相同思想方法。本书首先通过研究变速直线运动的瞬时速度总结出微积分的基本思想方法。利用这一思想引出导数的定义（上册，81页）。在通过研究变速直线运动的路程引出定积分时（上册217页）指出，“注意到它是‘变速’运动，不由使我们联想到到第二章为引入导数所讨论的求变速直线运动的质点的瞬时速度问题。二者看似是截然不同的两类问题，但它们却‘同根同源’——都源于速度的非均匀变化。因此，研究它们所遵循的思想与采用的方法应是相同的”。于是利用微积分的基本思想方法得到路程的精准值。类似地，用面积分布均匀的矩形来近似代替曲边形，进而抽象为定积分（上册，218页）。

这样做，不仅将问题变得简单清晰，使教师易教、学生易学，大大减轻教学的难度，更使学生学到微积分的精髓、真谛与灵魂。本书还将微积分的基本思想用在多元函数的六类积分、曲率、积分应用的微元法、由实际问题建立微分方程等问题上，实现用微积分的基本思想统领微积分的教学。这是本书对微积分教学所做的卓有成效的改革。

教猜想

牛顿有一句名言，“没有伟大的猜想就做不出伟大的发现”。 要创新首先要有创新的意识、有发现问题提出问题的能力。不能发现问题、提出问题，创新何以谈起!因此，在传授知识的同时要着重培养学生发现问题、提出问题的猜想能力、问问题的能力。

本书通过简单的具体问题或几何直观引导学生发现特点，然后用“我们猜想”、“我们期盼（望）”等启发性语言启发学生提出猜想，引出问题。培养学生发现问题提出问题的能力，敢于猜想、善于猜想的能力。比如，通过用两种方法写出变速直线运动在某段时间内所走的路程指出（上册，229页），“这是一个非常有意义的结果. 我们自然期望：如果舍去其具体的物理意义，这一结论对任意的定积分都成立”。从而引出牛顿——莱布尼兹公式。根据这里得到的计算路程公式通过求速度又发现新的规律（上册，230页），提出“由此，我们猜想：......”,从而引出微积分基本定理。

再如，为讨论“可降阶的高阶微分方程”，我们指出（上册，314页），“在第二节讨论了一些一阶微分方程的解法，下面来研究高阶微分方程的求解问题.遵循用‘已知’研究‘未知’的思想，我们自然期盼，如果能把高阶微分方程化为第二节所熟悉的一阶方程，就可以利用已有的一阶方程的解法作‘已知’来求解了”.这样的例子举不胜举。

教方法  

以传授知识为目的的教材将知识从天而降把学生砸得晕头转向，是造成“数学难”、使学生厌学的一个重要原因。本书杜绝这种做法，注重由特殊（具体）到一般、由直观到抽象、用简单替代复杂、由简单的实际问题或根据数学发展的需要、通过联想类比等方法引入新概念，或将已有结论推广到一般。将问题变难为易、变抽象为具体、变“未知”为“已知”。比如，微分中值定理（上册127页）是理论性比较强的一节，学生往往望而生畏。我们从学校开运动会提出一个非常有趣的直观问题，然后将它稍加抽象就得到微分中值定理，引起学生探索的欲望。有些公认的纯数学问题，也尽量借用简单的问题或几何直观引导学生发现问题，提出猜想，然后再抽象为一般。比如：反函数求导与复合函数求导（上册99页、102页）。这是导数中的重要内容与难点。原有的有关微积分的教材都采用纯解析的方法抽象的研究，我们先从几何直观使学生轻易地发现规律，然后提出猜想，再进行解析证明。

教文化  

本书注重数学文化的传播与学习。不仅注重介绍数学的思想与方法，而且根据数学本身的特点，配合思政教育，在适当地方配以历史回顾及历史人物简介，使学生了解知识产生与发展的艰难与漫长的历程、前人的艰辛付出，激励学生“立大志、明大德、成大才、担大任”，拼搏奋斗，刻苦读书，实现教书育人。“激发学生的好奇 心、想象力、探求欲，培养具备科学家潜质、愿意献身科学研究事业的青少年群体”。

教应用  

学习的目的在于应用。但是仅靠教材中编者杜撰的“应用题”不可能培养出学生解决实际问题的能力。为此，作为选学或自学内容，本书在有关章节引进了数学建模的相关内容，并介绍了一个数学软件，以培养学生解决实际问题的能力。

另外，利用二维码以注记的形式对有关知识点、平时教学中学生提出的疑难问题等给与

注释、补充，弥补因种种原因给学生带来的困惑，使学有余力的学生扩大视野、提高能力；通过二维码把课本中分布散乱的相关知识加以系统、总结，便于学生清晰地掌握与运用。

（作者：天津科技大学理学院 李伟）