随心“渗”入行，润“透”悄无痕

摘要： “数学思想”是数学的精髓，而“基本思想”又是数学思想中最核心的部分，它来源于数学知识与方法，又高于知识与方法，指导着知识与方法的运用。它的价值主要体现于促进学生对知识的建构，提升学生的思维品质。小学阶段数学基本思想的教学形态主要是“渗透”。教学中，教师要注重观念的更新，增强渗透数学基本思想的意识；要适时让数学基本思想显性化，提升渗透的品质；要遵循数学基本思想渗透的阶段性规律，逐步拓展渗透的深度与广度。

关键词：内涵；价值；渗透；基本思想

“师者，所以传道授业解惑也。”

—— 韩愈

“道”为“业”之精髓。学习与理解知识，关键就在于得其中之“道”。得其“道”，则事半功倍。

数学思想即数学之精髓。在《数学课程标准（2011年版）》中明确指出，“数学思想”不仅是课程的一个重要内容，同时也是课程的一个基本目标。把“双基”扩展为“四基”，更加凸显了数学思想在义务教育数学课程中的重要地位，学习与研究数学的基本思想也就成为数学教师的内在需求。

一、追溯：数学基本思想之内涵界定  

1.数学思想

数学思想是现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中并经过思维活动而产生的结果，是对数学事实与数学理论（概念、定理、公式、法则、方法等）的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点。它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。［1］

2.数学思想与数学方法的关系

数学方法是处理、探索、解决问题，实现数学思想的技术手段和工具。“方法”是指向“实践”的，是理论用于实践的中介。数学方法的运用、实施与数学思想的概括、提炼是并行不悖的，它们相互为用，互为表里。［2］数学思想来源于数学知识与方法，又高于知识与方法，居于更高地位，它指导知识与方法的运用。一种方法就像一把钥匙，一把钥匙只能开一把锁，而数学思想就相当于制造钥匙的原理。一般来说，数学的方法都体现着一定的数学思想，只是在强调指导思想时称数学思想，强调操作过程时称数学方法。

3. 数学基本思想

《数学课程标准（2011年版）》的“课程总目标”部分指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能：获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”［3］数学基本思想是指数学思想中最核心的部分，是指对于数学发展具有奠基性的数学思想。《义务教育课程标准（2011年版）小学数学案例式解读》中指出：数学基本思想包括抽象思想、概括思想、归纳思想、化归思想、分类思想、函数思想、方程思想、数形结合思想、符号与模型思想等，其中最基本的数学思想是抽象思想、推理思想和模型思想。［4］

二、叩问：数学基本思想之价值取向

学生在学校接受的数学知识，因毕业进入社会后几乎没有什么机会应用这种作为知识的数学，所以通常是在出校门后不到一两年，很快就忘掉了。然而不管他们从事什么工作，唯有深深地铭刻在头脑中的数学精神、思想、方法却能随时随地的发挥作用，使他们终身受益。

——米山国藏（日本）

数学基本思想具有一定的永恒性和普遍的实用性，数学思想的领悟不但能促进学生对知识的建构，同时还有助于学生思维品质的提升。

1.促进知识的建构  

建构主义认为：“学生学习活动的本质并非是对于教师所授予的知识的被动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构过程。”数学知识是数学教学中的一条明线，而数学思想则是一条隐线，同时也是一条主线。数学基本思想就如同“磁场”一样，能将孤立和零散的数学知识“吸附”起来，形成一个相互关联的统一体，促进学生对知识的建构。比如，“平面图形的面积变化”这部分内容的教学，若仅仅关注知识目标的教学，教给学生一种解题思路或解题方法，学生也许能暂时形成解题的技能，但这项技能随着时间的推移将会逐渐遗忘，这样的教学完全背离了数学教育的目标。倘若教师在这部分内容的教学中，不但关注知识技能的形成，还注重数形结合思想的渗透，让学生感悟到数形结合思想在知识学习中所体现的价值，这种数学思想将会扎根于心，并在后续的学习中随时发挥作用，最大限度的促使学生数学知识的内化及认知结构的形成。

2.提升思维的品质

重视数学的基本思想渗透还有利于学生思维品质的提升及创新精神的培养。在小学数学教学中，培养学生的思维能力，提升学生的思维品质始终是教学目标中的一个重要方面。而教师注重基本思想的渗透，其意义绝非停留在解题思路的指导层面上，更重要的是它能使学生领悟到数学的真谛，让数学思想成为知识转化为能力的纽带，提高学生的数学化能力，掌握思考问题、分析问题的一般性思维方法，从而迁移转化为学生处理问题的一般能力。因此，数学基本思想的渗透，是把传统的“知识型”教学转化为“能力型”教学，是培养创造性人才的有效渠道，促使了学生良好思维品质的形成和发展，为他们今后的发展打下坚实的基础。

三、践行：数学基本思想之教学形态

创造性只能培养，不能教！创造性就像种子一样,需要一定的环境才能发芽、生根、开花、结果。

——黄全愈（美籍华人）

小学阶段数学基本思想的教学形态主要是“渗透”。一名合格的数学教师不仅要教“知”导“行”，更重要的是启“智”，做学生思想的启蒙者、智慧的开发者。这就要求我们在教学过程中要不断更新观念，适时适度地对学生进行数学基本思想的渗透，让学生在学习过程中不断地感悟数学思想，提升数学素养。

1.更新观念，增强渗透数学基本思想的意识

与显性的数学知识不同，大量的数学思想都蕴涵于表层知识之中，处于“潜形态”。有经验的教师不仅能够看到显性的数学知识，还能深入挖掘相关知识中所蕴涵的数学思想，将其转变为“显形态”，使学生对它们的认识由朦胧感受转变为清晰的理解。然而，深入课堂调研发现：现今的课堂，许多教师的教学方式虽然已经有所转变，但由于缺乏对课标的深度解读，教材的深刻理解，对数学基本思想的研究仅仅停留在表面，课堂教学中对数学思想渗透的意识不强，有的课堂教学甚至基本体验不到数学基本思想的运用。

关于《素数和合数》这节课，笔者曾听了两位老师执教的同题异构课，他们对素数和合数的概念教学分别作了如下设计：

【案例A】教师提出问题：用2个、3个、5个、6个、8个、9个小正方形分别拼长方形，各有几种拼法呢？学生操作，师生交流。追问：为什么用2个、3个或5个小正方形拼长方形只有一种拼法，而其他几个有两种或两种以上的拼法呢？在学生初步感知了长方形的拼法与小正方形个数的因数有关后，让学生依次写出1—20这每个数的所有因数，然后观察它们因数的特点，最后引导学生根据每个数因数的个数将自然数分成三类，并揭示素数与合数的概念。

【案例B】教师直接出示例题：写出2、3、5、6、8、9的所有因数。在学生练习后，一一指名回答：这些数都有哪些因数？哪些数只有两个因数？哪些数的因数超过了两个？接着引导学生讨论：只有两个因数的数，它们的因数有什么特点？超过两个因数的数，它们的因数又有什么特点？最后揭示素数与合数的概念，并将自然数按因数的个数分成三类：素数、合数和1。

不难看出，A教师的课堂把素数、合数的概念潜藏在图形的操作里，让学生通过“动手做”的过程发现“素数个”小正方形只能拼成一种长方形，而“合数个”小正方形至少能拼成两种不同形状的长方形，渗透了数形结合的思想，同时还引导学生根据自然数因数个数的多少给自然数进行分类，揭示了素数与合数的概念，渗透了分类、抽象、归纳的思想，使学生在掌握知识技能的同时，感悟了数学基本思想，提升了思维的品质。

相比之下，B教师的课堂较多地关注了概念的形成，忽视了数学基本思想的渗透，这样的课堂对学生知识的形成、创新能力的培养等方面都有所制约。造成这一现象的主要原因就是教师对知识及与之相关数学思想的关系认识不到位，在实际教学过程中重知识的掌握，忽视了数学思想的价值，低估了学生接收各类数学思想的能力，对于基本思想的渗透意识相对薄弱。

直面现实，常态教学中的数学课堂，基本思想的渗透常常因如上所述的多方面原因而被作为一个“软任务”给挤掉。因此，作为一名数学教师，我们必须更新观念，从思想上不断提高渗透数学基本思想重要性的认识，增强渗透数学基本思想的意识。除了具备较高的数学知识水平外，还应加强教育理论的学习，研究数学方法论、数学教育概论等专著，把握数学思想与数学教育的关系。在教学中，真正做到把“四基”同时纳入教学目标，不能仅仅满足于学生知识技能的形成，要认真钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数学基本思想渗透的因素，将其融入到每个教学内容中，并实施于课堂，扎根于学生的头脑中，逐步成长为一种意识、观念和素质，并在以后的学习和工作中随时随地的发挥作用，使他们终身受益。

2.化隐为显，提升渗透数学基本思想的品质    

教育者，非为已往，非为现在，而专为未来。

——蔡元培

学生学习的最终目的在于适应未来社会的发展。如此，对于小学数学教学而言，数学基本思想的渗透价值不言而喻。

笔者曾在机缘巧合之下对学校四年级总共六个班的学生作了基本调查，发现教师在教学中没有进行数学基本思想的渗透。紧接着约谈了十二名（每班两名）知道一些基本思想的学生进行深度调查，谈话交流中发现，学生们对这些基本思想的了解主要来源于老师偶尔的提及或报刊的介绍，思想认知并不深入，没有做到真正领悟。

在沙龙活动中，老师们经过智慧的交锋，观点的碰撞，最终形成了共识，其中有一点是：数学基本思想的渗透应该逐步明朗化，要化隐为显，要努力提升渗透数学思想的品质。

作为教师，首先应该认识到数学思想都隐含在数学知识的背后，如果不能有意识地把数学基本思想的渗透作为教学的重要内容，学生在学习时关注到的往往是处于表层的数学知识，而触及不到处于深层的数学方法与思想。因此，教学中必须以数学知识为载体，把隐藏在知识背后的思想显示出来，不能总以“犹抱琵琶半遮面”之态示人，要使之明朗化，最终通过学习知识的过程达到领悟思想的目的。

其次，教学中对数学基本思想的渗透，要根据学生的认知水平和年龄特点，做到适时适度地“化隐为显”。一般说来，在小学低年级的教学中，渗透时不宜出现抽象的定义或名称，主要通过引导学生对具体内容的观察、分析，逐步感悟基本思想，做到“学而不露”；而中高年级的教学中，一些基本思想的渗透，则可“显山露水”，教师要适时地把隐含在知识体系中的数学思想清楚地告知学生，否则就会干扰知识教学的顺利进行，增加学生的学习负担。要让学生在习得知识、形成技能、掌握方法的同时，明明白白的感悟、体验渗透于其中的数学基本思想。

3.逐级递进，拓展渗透数学基本思想的深度与广度

《数学课程标准（2011年版）》指出：数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的。教材在呈现相应的数学内容与数学思想方法时，应根据学生的年龄特征与知识积累，在遵循科学性的前提下，采用逐级递进、螺旋上升的原则。［5］

比如，“分类”是贯穿学生数学学习过程中的一种重要的基本数学思想。它是把若干个研究对象按某种确定的标准分成两部分或几部分。学生在学习过程中会经常遇到分类。低年级学生首先接触的是对实物的分类，如动物、交通工具、文具等；随着知识的增长，年级的提升，还要学会对数学对象的分类，如数的分类、图形的分类、代数式的分类、模型的分类等。

同一种数学思想，在不同的教学阶段有着不同的要求。对分类的思想需根据学生的年龄特征以及不同阶段的认知水平适度进行渗透。第一学段，通过挖掘教材提供的素材，把握渗透的契机，让学生初步体验分类的思想，培养分类的意识；第二学段，结合式的分类、数的分类等教学内容，让学生经过多次的思考和长时间的积累，逐步达到不仅能在数学中会运用，还能在实际情境中会识别和判断，进而逐步形成分类意识，感悟分类是一种重要的数学基本思想。

每一种数学思想的形成都需要经历一个从模糊到清晰、从具体到抽象、从理解到应用的长期发展过程。这就要求广大数学教师在数学基本思想的渗透过程中，采取逐级递进、螺旋上升的原则，在不同阶段、不同内容的教学中，根据阶段性要求，不断拓展渗透数学基本思想的深度和广度，逐步提高学生对数学基本思想的感悟水平，最终获得较为深刻的理解，形成良好的精神品格。

四、放歌：数学基本思想之愿景

当前的教育已迈进改革的“深水区”，课堂教学更加关注学生的生命状态，建构了全新的“以人为本”的教学形态。作为一名数学教师，教学中要以知识为载体，认真挖掘教材内容中所隐含的数学基本思想，把它悄无痕迹地渗透到自己的备课中，渗透到学生的思维中，引导学生对数学基本思想的领悟逐步走向深刻，让数学基本思想在与知识能力形成的过程中得到和谐共生，焕发数学课堂的魅力，铸就绿色教育。

（文/王亚妮 作者单位： 华东师范大学盐城实验学校）

［参考文献］

［1］涂荣豹，季素月.《数学课程与教学论新编》［M］.南京：江苏教育出版社，2007（2）：9—11.

［2］中华人民共和国教育部.《义务教育数学课程标准（2011年版）》［S］.北京：北京师范大学出版社，2012（1）：62.

［3］杨豫晖.《义务教育课程标准（2011年版）案例式解读.小学数学》［M］.北京:教育科学出版社,2012（3）：26.

［4］史宁中.《义务教育数学课程标准（2011年版）解读》［M］.北京：北京师范大学出版社，2012（2）：269.

［5］王林 等.《小学数学课程标准研究与实践》［M］.南京：江苏教育出版社，2011（7）：17—18.

选自《平安校园》杂志2023.03（总第256期）